Mis on fraktalid: matemaatika ilu ja lõpmatus

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-16 16:03

Fraktaale on tuntud juba sajand, neid on hästi uuritud ja neil on elus palju rakendusi. See nähtus põhineb aga väga lihtsal ideel: suhteliselt lihtsatest struktuuridest on võimalik saada palju kujundeid, mille ilu ja mitmekesisus on lõputu, kasutades vaid kahte toimingut – kopeerimist ja skaleerimist.

Mis on ühist puul, mererannal, pilvel või meie käes olevatel veresoontel? Esmapilgul võib tunduda, et kõigil neil objektidel pole midagi ühist. Kuid tegelikult on kõigile loetletud objektidele omane üks struktuuriomadus: nad on isesarnased. Oksast, nagu ka puu tüvest, on väiksemad oksad, neist - veel väiksemad jne, ehk siis oks on nagu terve puu.

Vereringesüsteem on paigutatud sarnaselt: arterioolid väljuvad arteritest ja neist - väikseimad kapillaarid, mille kaudu hapnik siseneb elunditesse ja kudedesse. Vaatame mereranniku satelliidipilte: näeme lahtesid ja poolsaari; vaatame seda, aga linnulennult: näeme lahtesid ja neeme; Kujutagem nüüd ette, et seisame rannas ja vaatame oma jalgu: alati on kivikesi, mis ulatuvad ülejäänutest kaugemale vette.

See tähendab, et rannajoon jääb sisse suumimisel endaga sarnaseks. Ameerika (ehkki Prantsusmaal üles kasvanud) matemaatik Benoit Mandelbrot nimetas seda objektide omadust fraktaalsuseks ja selliseid objekte endid - fraktaalideks (ladina fractus - murtud).

Mis on fraktal?

Sellel mõistel pole ranget määratlust. Seetõttu ei ole sõna "fraktal" matemaatiline termin. Tavaliselt on fraktaal geomeetriline kujund, mis vastab ühele või mitmele järgmistest omadustest: • Sellel on keeruline struktuur mis tahes suurenduse korral (erinevalt näiteks sirgjoonest, mille mis tahes osa on kõige lihtsam geomeetriline kujund – a joonelõik). • On (ligikaudu) enesesarnane. • Omab murdosa Hausdorffi (fraktaal) dimensiooni, mis on suurem kui topoloogiline. • Saab ehitada rekursiivsete protseduuridega.

Geomeetria ja algebra

Fraktaalide uurimine 19. ja 20. sajandi vahetusel oli pigem episoodiline kui süstemaatiline, sest varasemad matemaatikud uurisid peamiselt "häid" objekte, mida oli võimalik üldiste meetodite ja teooriate abil uurida. 1872. aastal konstrueerib saksa matemaatik Karl Weierstrass näite pidevast funktsioonist, mis ei ole kusagil diferentseeritav. Selle konstruktsioon oli aga täiesti abstraktne ja raskesti tajutav.

Seetõttu leiutas rootslane Helge von Koch 1904. aastal pideva kõvera, millel pole kuskil puutujat ja mida on üsna lihtne joonistada. Selgus, et sellel on fraktali omadused. Selle kõvera ühte varianti nimetatakse "Kochi lumehelbeks".

Figuuride enesesarnasuse ideed noppis üles prantslane Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbroti tulevane mentor. 1938. aastal avaldas ta artikli "Tervikuga sarnastest osadest koosnevad tasapinnalised ja ruumilised kõverad ja pinnad", mis kirjeldab teist fraktaali – Lévy C-kõverat. Kõik need ülaltoodud fraktaalid võib tinglikult omistada ühte konstruktiivsete (geomeetriliste) fraktaalide klassi.

Teine klass on dünaamilised (algebralised) fraktaalid, mis hõlmavad Mandelbroti komplekti. Esimesed sellesuunalised uuringud algasid 20. sajandi alguses ja on seotud prantsuse matemaatikute Gaston Julia ja Pierre Fatou nimedega.1918. aastal ilmus Julia peaaegu kahesajaleheküljeline mälestusteraamat, mis oli pühendatud keeruliste ratsionaalsete funktsioonide iteratsioonidele, milles kirjeldati Julia komplekte – tervet Mandelbroti hulgaga tihedalt seotud fraktaalide perekonda. See töö pälvis Prantsuse Akadeemia auhinna, kuid see ei sisaldanud ühtegi illustratsiooni, mistõttu avastatud objektide ilu oli võimatu hinnata.

Hoolimata asjaolust, et see töö ülistas Juliat tolleaegsete matemaatikute seas, unustati see kiiresti. Alles pool sajandit hiljem jõudsid arvutid taas tähelepanu alla: just nemad tegid nähtavaks fraktaalide maailma rikkuse ja ilu.

Fraktaali mõõtmed

Nagu teate, on geomeetrilise kujundi mõõde (mõõtmiste arv) koordinaatide arv, mis on vajalik sellel joonisel asuva punkti asukoha määramiseks.

Näiteks punkti asukoht kõveral määratakse ühe koordinaadiga, pinnal (mitte tingimata tasapinnal) kahe koordinaadiga, kolmemõõtmelises ruumis kolme koordinaadiga.

Üldisemast matemaatilisest vaatenurgast saab dimensiooni määratleda nii: lineaarsete mõõtmete suurenemine, näiteks kaks korda, ühemõõtmeliste (topoloogilisest vaatepunktist) objektide (segmendi) korral toob kaasa mõõtmete suurenemise. (pikkus) kaks korda, kahemõõtmelise (ruut) puhul toob sama lineaarsete mõõtmete suurenemine kaasa suuruse (pindala) suurenemise 4 korda, kolmemõõtmelise (kuubiku) puhul 8 korda. See tähendab, et "tegelikku" (nn Hausdorffi) mõõdet saab arvutada objekti "suuruse" suurenemise logaritmi ja selle lineaarse suuruse suurenemise logaritmi suhtena. See tähendab, et segmendi jaoks D = log (2) / log (2) = 1, tasandi jaoks D = log (4) / log (2) = 2, ruumala jaoks D = log (8) / log (2)) = 3.

Arvutame nüüd välja Kochi kõvera mõõtme, mille konstrueerimiseks jagatakse ühiklõik kolmeks võrdseks osaks ja keskmine intervall asendatakse ilma selle lõiguta võrdkülgse kolmnurgaga. Minimaalse segmendi lineaarsete mõõtmete kolmekordse suurenemisega suureneb Kochi kõvera pikkus log (4) / log (3) ~ 1, 26. See tähendab, et Kochi kõvera mõõde on murdosa!

Teadus ja kunst

1982. aastal ilmus Mandelbroti raamat "Looduse fraktalgeomeetria", kuhu autor kogus ja süstematiseeris peaaegu kogu tol ajal kättesaadava teabe fraktalide kohta ning esitas selle lihtsalt ja arusaadavalt. Mandelbrot pani oma ettekandes põhirõhu mitte tülikatele valemitele ja matemaatilistele konstruktsioonidele, vaid lugejate geomeetrilisele intuitsioonile. Tänu arvutiga loodud illustratsioonidele ja ajaloolistele juttudele, millega autor monograafia teaduslikku komponenti oskuslikult lahjendas, sai raamatust bestseller ning fraktalid said laiemale avalikkusele tuntuks.

Nende edu mittematemaatikute seas tuleneb suuresti sellest, et väga lihtsate konstruktsioonide ja gümnasistile arusaadavat valemite abil saadakse hämmastava keerukuse ja iluga pilte. Kui personaalarvutid muutusid piisavalt võimsaks, ilmus kunstis isegi terve suund – fraktaalmaal ja sellega sai hakkama peaaegu iga arvutiomanik. Nüüd leiate Internetist hõlpsalt palju sellele teemale pühendatud saite.

Sõda ja rahu

Nagu eespool märgitud, on üks fraktaalsete omadustega loodusobjekte rannajoon. Temaga, õigemini selle pikkuse mõõtmise katsega on seotud üks huvitav lugu, mis oli aluseks Mandelbroti teaduslikule artiklile ja mida kirjeldab ka tema raamat "Looduse fraktaalne geomeetria".

See on eksperiment, mille lavastas Lewis Richardson, väga andekas ja ekstsentriline matemaatik, füüsik ja meteoroloog. Tema uurimistöö üheks suunaks oli katse leida matemaatiline kirjeldus kahe riigi vahelise relvakonflikti põhjuste ja tõenäosuse kohta. Parameetrite hulgas, mida ta arvesse võttis, oli kahe sõdiva riigi ühise piiri pikkus. Numbriliste katsete jaoks andmeid kogudes leidis ta, et erinevates allikates on Hispaania ja Portugali ühise piiri andmed väga erinevad.

See ajendas teda avastama järgmist: riigi piiride pikkus sõltub joonlauast, millega me neid mõõdame. Mida väiksem on skaala, seda pikem on piir. Põhjuseks on asjaolu, et suurema suurendusega saab üha rohkem arvesse võtta rannikukäänakuid, mis varem jäid mõõtmiste kareduse tõttu tähelepanuta. Ja kui iga mastaabi suurenemisega avanevad varem arvestamata joonte kõverad, siis selgub, et piiride pikkus on lõpmatu! Tõsi, tegelikkuses seda ei juhtu – meie mõõtmiste täpsusel on piiratud piir. Seda paradoksi nimetatakse Richardsoni efektiks.

Konstruktiivsed (geomeetrilised) fraktaalid

Konstruktiivse fraktali konstrueerimise algoritm üldjuhul on järgmine. Kõigepealt vajame kahte sobivat geomeetrilist kujundit, nimetagem neid aluseks ja killuks. Esimeses etapis on kujutatud tulevase fraktali alus. Seejärel asendatakse mõned selle osad sobivas mõõtkavas võetud fragmendiga - see on ehituse esimene iteratsioon. Seejärel muudab saadud kujund jälle osad fragmendiga sarnasteks kujunditeks jne. Kui seda protsessi lõputult jätkata, siis limiiti saame fraktali.

Vaatleme seda protsessi, kasutades näitena Kochi kõverat. Kochi kõvera aluseks võite võtta mis tahes kõvera ("Kochi lumehelbe" jaoks on see kolmnurk). Kuid piirdume kõige lihtsama juhtumiga - segmendiga. Fragment on katkendlik joon, mis on näidatud joonisel ülaosas. Pärast algoritmi esimest iteratsiooni langeb sel juhul esialgne segment fragmendiga kokku, seejärel asendatakse kõik selle koostisosad katkendliku joonega, mis sarnaneb fragmendile jne. Joonisel on näidatud toimingu neli esimest sammu. seda protsessi.

Matemaatika keeles: dünaamilised (algebralised) fraktaalid

Seda tüüpi fraktalid tekivad mittelineaarsete dünaamiliste süsteemide uurimisel (sellest ka nimi). Sellise süsteemi käitumist saab kirjeldada kompleksse mittelineaarse funktsiooniga (polünoomiga) f (z). Võtke komplekstasandil mõni alguspunkt z0 (vt külgriba). Vaatleme nüüd sellist lõpmatut arvujada komplekstasandil, millest igaüks on saadud eelmisest: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn)).

Olenevalt algpunktist z0 võib selline jada käituda erinevalt: kalduda lõpmatuseni kui n -> ∞; lähenema mõnele lõpp-punktile; võtta tsükliliselt mitu fikseeritud väärtust; võimalikud ka keerulisemad variandid.

Keerulised numbrid

Kompleksarv on arv, mis koosneb kahest osast - reaal- ja imaginaarsest, see tähendab formaalsest summast x + iy (siin on x ja y reaalarvud). ma olen nn. imaginaarühik ehk arv, mis rahuldab võrrandit i ^ 2 = -1. Põhilised matemaatilised toimingud on määratletud kompleksarvude kohal - liitmine, korrutamine, jagamine, lahutamine (ainult võrdlustehte pole määratletud). Kompleksarvude kuvamiseks kasutatakse sageli geomeetrilist esitust - tasapinnal (seda nimetatakse kompleksiks), reaalosa asetatakse abstsissile ja imaginaarne osa ordinaadile, kompleksarv vastab aga Descartes'i punktile. koordinaadid x ja y.

Seega on komplekstasandi mis tahes punktil z funktsiooni f (z) iteratsioonide ajal oma käitumise iseloom ja kogu tasapind jaguneb osadeks. Sel juhul on nende osade piiridel asuvatel punktidel järgmine omadus: suvaliselt väikese nihke korral muutub nende käitumise olemus järsult (sellisi punkte nimetatakse hargnemispunktideks). Seega selgub, et ühte kindlat tüüpi käitumisega punktide komplektidel, aga ka bifurkatsioonipunktide komplektidel on sageli fraktaalsed omadused. Need on funktsiooni f (z) Julia hulgad.

Draakonite perekond

Alust ja fragmenti varieerides saate hämmastavalt palju erinevaid konstruktiivseid fraktale.

Lisaks saab sarnaseid toiminguid teha ka kolmemõõtmelises ruumis. Volumeetrilised fraktaalid on näiteks Mengeri käsn, Sierpinski püramiid jt.

Draakoni perekonda nimetatakse ka konstruktiivseteks fraktaalideks. Mõnikord kutsutakse neid avastajate nimede järgi "Harteri kiirtee draakoniteks" (oma kujul meenutavad nad Hiina draakoneid). Selle kõvera joonistamiseks on mitu võimalust. Lihtsaim ja intuitiivseim neist on järgmine: peate võtma piisavalt pika pabeririba (mida õhem paber, seda parem) ja voltima selle pooleks. Seejärel painutage seda uuesti kaks korda samasse suunda nagu esimesel korral.

Pärast mitut kordust (tavaliselt pärast viit või kuut volti muutub riba liiga paksuks, et seda korralikult edasi painutada) tuleb riba tagasi painutada ja proovida moodustada voltidele 90˚ nurgad. Siis muutub draakoni kõver profiilis välja. Loomulikult on see vaid ligikaudne, nagu kõik meie katsed kujutada fraktaalobjekte. Arvuti võimaldab selles protsessis kujutada veel palju samme ning tulemuseks on väga ilus figuur.

Mandelbroti komplekt on üles ehitatud veidi teistmoodi. Vaatleme funktsiooni fc (z) = z ^ 2 + c, kus c on kompleksarv. Koostagem selle funktsiooni jada z0 = 0, olenevalt parameetrist c võib see divergeeruda lõpmatuseni või jääda piirituks. Veelgi enam, kõik c väärtused, mille jaoks see jada on piiratud, moodustavad Mandelbroti komplekti. Seda uurisid üksikasjalikult Mandelbrot ise ja teised matemaatikud, kes avastasid selle komplekti palju huvitavaid omadusi.

On näha, et Julia ja Mandelbroti hulga definitsioonid on üksteisega sarnased. Tegelikult on need kaks komplekti omavahel tihedalt seotud. Nimelt on Mandelbroti hulk kõik kompleksparameetri c väärtused, mille jaoks Julia hulk fc (z) on ühendatud (hulka nimetatakse ühendatuks, kui seda ei saa teatud lisatingimustega jagada kaheks mitteühendatavaks osaks).

Fraktalid ja elu

Tänapäeval kasutatakse fraktaalide teooriat laialdaselt erinevates inimtegevuse valdkondades. Lisaks puhtteaduslikule uurimisobjektile ja juba mainitud fraktaalimaalile kasutatakse infoteoorias fraktaleid graafiliste andmete tihendamiseks (siin kasutatakse peamiselt fraktaalide enesesarnasuse omadust - ju ikka selleks, et meeles pidada väikest fragmenti joonis ja teisendused, mille abil saate ülejäänud osad, mälu on vaja palju vähem kui kogu faili salvestamiseks).

Lisades fraktaali defineerivatesse valemitesse juhuslikud häired, võib saada stohhastilisi fraktale, mis annavad väga usutavalt edasi mõningaid reaalseid objekte - reljeefielemente, veekogude pinda, mõningaid taimi, mida kasutatakse edukalt füüsikas, geograafias ja arvutigraafikas, et saavutada suurem. simuleeritud objektide sarnasus reaalsega. Elektroonikas toodetakse antenne, millel on fraktaalkuju. Võttes vähe ruumi, pakuvad need üsna kvaliteetset signaali vastuvõttu.

Majandusteadlased kasutavad valuutakursi kõverate kirjeldamiseks fraktaleid (Mandelbroti avastas omadus). Sellega lõpetame selle väikese ekskursiooni hämmastavalt kaunisse ja mitmekesisesse fraktaalide maailma.