Meie universumi lame, sfääriline või hüperboolne kuju?

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-16 16:03

Meie arvates on universum lõpmatu. Tänapäeval teame, et Maal on sfääri kuju, kuid universumi kuju peale mõtleme harva. Geomeetrias on palju kolmemõõtmelisi kujundeid alternatiivina "tuttavale" lõpmatule ruumile. Autorid selgitavad erinevust kõige kättesaadavamal kujul.

Öist taevast vaadates tundub, et kosmost jätkub igavesti igas suunas. Nii kujutame ette Universumit – aga mitte tõsiasja, et see on tõsi. Oli ju aeg, mil kõik arvasid, et Maa on lapik: maapinna kumerus on hoomamatu ja arusaamatu tundus mõte, et Maa on ümmargune.

Tänapäeval teame, et Maa on kerakujuline. Kuid me mõtleme universumi kujule harva. Kuna kera asendas lamedat maad, pakuvad teised kolmemõõtmelised vormid alternatiive "tuttavale" lõpmatule ruumile.

Universumi kuju kohta võib esitada kaks küsimust – eraldiseisvaid, kuid omavahel seotud küsimusi. Üks puudutab geomeetriat – nurkade ja pindalade täpseid arvutusi. Teine puudutab topoloogiat: kuidas eraldi osad ühinevad üheks vormiks.

Kosmoloogilised andmed viitavad sellele, et Universumi nähtav osa on sile ja homogeenne. Ruumi lokaalne struktuur näeb igas punktis ja igas suunas välja peaaegu ühesugune. Nendele omadustele vastavad ainult kolm geomeetrilist kuju - tasane, sfääriline ja hüperboolne. Vaatame neid kujundeid kordamööda, mõned topoloogilised kaalutlused ja järeldused kosmoloogiliste andmete põhjal.

Lame universum

Tegelikult on see kooli geomeetria. Kolmnurga nurgad annavad kokku 180 kraadi ja ringi pindala on πr2. Lameda kolmemõõtmelise kujundi lihtsaim näide on tavaline lõpmatu ruum, matemaatikud nimetavad seda eukleidiliseks, kuid on ka teisi tasapinnalisi võimalusi.

Neid kujundeid pole lihtne ette kujutada, kuid me saame oma intuitsiooni ühendada, mõeldes kolmemõõtmelise asemel kahes mõõtmes. Lisaks tavapärasele eukleidilisele tasapinnale saame luua teisi tasapinnalisi kujundeid, lõigates tasapinnast välja tüki ja liimides selle servad. Oletame, et lõikame välja ristkülikukujulise paberitüki ja kleepime selle vastasküljed teibiga. Kui liimite ülemise serva alumise serva külge, saate silindri.

Võite ka liimida parema serva vasakule - siis saame sõõriku (matemaatikud nimetavad seda kujundit toruks).

Tõenäoliselt vaidlete vastu: "Midagi pole väga tasane." Ja sul on õigus. Me petsime veidi lamedat torustikku. Kui proovite tõesti niimoodi paberitükist torust teha, siis satute raskustesse. Silindri valmistamine on lihtne, kuid selle otste liimimine ei tööta: paber kortsub piki toru sisemist ringi, kuid välisringi jaoks sellest ei piisa. Nii et peate võtma mingi elastse materjali. Kuid venitamine muudab pikkust ja nurki ning seega ka kogu geomeetriat.

Tavalises kolmemõõtmelises ruumis olevast tasasest materjalist on võimatu konstrueerida tõelist siledat füüsilist torust ilma geomeetriat moonutamata. Jääb üle abstraktselt spekuleerida, mis tunne on elada lamedas toruses.

Kujutage ette, et olete kahemõõtmeline olend, kelle universum on lame torus. Kuna selle universumi kuju põhineb tasasel paberilehel, jäävad kõik meile harjunud geomeetrilised faktid samaks – vähemalt piiratud skaalal: kolmnurga nurgad annavad kokku 180 kraadi jne. Kuid globaalse topoloogia muutumisega kärpimise ja liimimise kaudu muutub elu dramaatiliselt.

Alustuseks on torus sirged jooned, mis loovad silmuse ja naasevad alguspunkti.

Moonutatud torusel tunduvad need kõverad, kuid lameda torustiku elanikele sirged. Ja kuna valgus liigub sirgjooneliselt, siis kui vaatad otse suvalises suunas, siis näed ennast tagantpoolt.

Tundub, nagu oleks algsel paberil valgus läbinud teid, läks vasakusse serva ja ilmus siis uuesti paremale, nagu videomängus.

Siin on veel üks võimalus mõelda: sa (või valguskiir) ületad ühe neljast servast ja leiad end uude ruumi, kuid tegelikult on see sama ruum, ainult teisest vaatenurgast. Sellises universumis rännates kohtate lõputul hulgal originaalruumi koopiaid.

See tähendab, et võtate enda kohta lõpmatu hulga koopiaid, kuhu iganes te vaatate. See on omamoodi peegelefekt, ainult need koopiad pole just peegeldused.

Torusel vastab igaüks neist ühele või teisele aasale, mida mööda valgus teie juurde tagasi naaseb.

Samamoodi saame lameda ruumilise toruse, liimides kokku kuubi või muu karbi vastasküljed. Me ei saa seda ruumi kujutada tavalises lõpmatus ruumis – see lihtsalt ei mahu ära –, kuid me saame abstraktselt spekuleerida selle sees oleva elu üle.

Kui elu kahemõõtmelises torus on nagu lõputu kahemõõtmeline massiiv identseid nelinurkseid ruume, siis elu kolmemõõtmelises torus on nagu lõputu kolmemõõtmeline massiiv identseid kuupruume. Ka teie näete lõputul hulgal enda koopiaid.

Kolmemõõtmeline torus on vaid üks lõpliku lameda maailma kümnest variandist. On ka lõpmatuid lamedaid maailmu – näiteks lõpmatu silindri kolmemõõtmeline analoog. Igal neist maailmadest on oma "naerutuba" koos "peegeldustega".

Kas meie universum võib olla üks lamedaid vorme?

Kui vaatame kosmosesse, ei näe me lõpmatut arvu enda koopiaid. Sellest hoolimata pole lamedate kujundite eemaldamine lihtne. Esiteks on neil kõigil sama lokaalne geomeetria kui Eukleidilisel ruumil, mistõttu ei ole võimalik neid kohalike mõõtmistega eristada.

Oletame, et nägite isegi oma koopiat, see kauge pilt näitab ainult seda, kuidas teie (või teie galaktika tervikuna) kauges minevikus välja nägite, kuna valgus on jõudnud kaugele, kuni see teieni jõudis. Võib-olla näeme isegi oma koopiaid – aga tundmatuseni muutunud. Lisaks on erinevad koopiad teist erineval kaugusel, seega pole need sarnased. Ja pealegi nii kaugel, et me ikka ei näe midagi.

Nendest raskustest ülesaamiseks ei otsi astronoomid tavaliselt enda koopiaid, vaid korduvaid tunnuseid kõige kaugemas nähtavas nähtuses - kosmilises mikrolaine taustkiirguses, see on Suure Paugu jäänuk. Praktikas tähendab see ringide paaride otsimist, kus kuumade ja külmade kohtade muster on kokkusobiv – eeldatakse, et need on samad, ainult erinevatest külgedest.

Astronoomid tegid just sellise otsingu 2015. aastal tänu Plancki kosmoseteleskoobile. Nad panid kokku andmed kokkulangevate ringide tüüpide kohta, mida loodame näha lameda 3D-toruse või muu lameda 3D-kuju – niinimetatud plaadi – sees, kuid nad ei leidnud midagi. See tähendab, et kui me elame toruses, siis tundub see olevat nii suur, et kõik korduvad fragmendid asuvad väljaspool vaadeldavat universumit.

Sfääriline kuju

Kahemõõtmelised sfäärid on meile väga tuttavad – see on palli, apelsini või Maa pind. Aga mis siis, kui meie universum on kolmemõõtmeline sfäär?

Kolmemõõtmelise sfääri joonistamine on keeruline, kuid seda on lihtne kirjeldada lihtsa analoogiaga. Kui kahemõõtmeline sfäär on kõigi punktide kogum, mis asuvad kindlal kaugusel mõnest tavalise kolmemõõtmelise ruumi keskpunktist, on kolmemõõtmeline sfäär (või "kolmsfäär") kõigi punktide kogum, mis asuvad kindlal kaugusel mõnest tavalisest kolmemõõtmelisest ruumist. keskpunkt neljamõõtmelises ruumis.

Elu trisfääri sees on väga erinev elust lamedas ruumis. Selle visualiseerimiseks kujutage ette, et olete kahemõõtmeline olend kahemõõtmelises sfääris. Kahemõõtmeline sfäär on kogu Universum, mistõttu te ei näe teid ümbritsevat kolmemõõtmelist ruumi ega pääse sellesse. Selles sfäärilises universumis liigub valgus lühimat teed pidi: suurte ringidena. Kuid need ringid tunduvad teile otse.

Kujutage nüüd ette, et teie ja teie 2D-sõber veedate aega põhjapoolusel ja ta läks jalutama. Eemaldudes väheneb see alguses teie nägemisringis järk-järgult - nagu tavamaailmas, ehkki mitte nii kiiresti, kui oleme harjunud. Seda seetõttu, et kui teie visuaalne ring kasvab, võtab teie sõber seda üha vähem.

Kuid niipea, kui teie sõber ületab ekvaatori, juhtub midagi kummalist: ta hakkab kasvama, kuigi tegelikult liigub ta jätkuvalt eemale. Seda seetõttu, et nende osakaal teie nägemisringis kasvab.

Kolm meetrit lõunapoolusest näeb su sõber välja, nagu seisaks ta sinust kolme meetri kaugusel.

Lõunapoolusele jõudes täidab see täielikult kogu teie nähtava horisondi.

Ja kui lõunapoolusel pole kedagi, on teie visuaalne horisont veelgi kummalisem – see olete teie. Seda seetõttu, et teie kiiratav valgus levib kogu sfääris, kuni see tagasi tuleb.

See mõjutab otseselt elu 3D-valdkonnas. Trisfääri igal punktil on vastand ja kui seal on objekt, siis näeme seda terves taevas. Kui seal midagi pole, näeme iseennast taustal – justkui oleks meie välimus õhupalli peale asetatud, seejärel pahupidi pööratud ja kogu silmapiirini täis puhutud.

Kuid kuigi trisfäär on sfäärilise geomeetria alusmudel, pole see kaugeltki ainus võimalik ruum. Nagu me ehitasime erinevaid tasapinnalisi mudeleid eukleidilise ruumi tükke lõigates ja liimides, nii saame ehitada sfäärilisi, liimides sobivaid trisfääri tükke. Kõik need liimitud kujundid mõjuvad nagu torus "naeruruumina", ainult sfääriliste kujundite ruumide arv on piiratud.

Mis siis, kui meie universum on sfääriline?

Isegi kõige nartsissistlikumad meist ei näe end öötaeva asemel taustana. Kuid nagu lameda toru puhul, ei tähenda see, et me midagi ei näe, sugugi, et seda pole olemas. Sfäärilise universumi piirid võivad olla suuremad kui nähtava maailma piirid ja tausta pole lihtsalt näha.

Kuid erinevalt torust saab sfäärilist universumit tuvastada kohalike mõõtmiste abil. Sfäärilised kujundid erinevad lõpmatust eukleidilisest ruumist mitte ainult globaalse topoloogia, vaid ka väikese geomeetria poolest. Näiteks kuna sfäärilises geomeetrias on sirgjooned suured ringid, on seal olevad kolmnurgad eukleidilistest kolmnurgad "paksumad" ja nende nurkade summa ületab 180 kraadi.

Põhimõtteliselt on kosmiliste kolmnurkade mõõtmine peamine viis universumi kõveruse kontrollimiseks. Iga kuuma või külma koha kohta kosmilisel mikrolaine taustal on teada selle läbimõõt ja kaugus Maast, mis moodustavad kolmnurga kolm külge. Saame mõõta nurka, mille moodustab täpp öötaevas – ja see on üks kolmnurga nurkadest. Seejärel saame kontrollida, kas külgmiste pikkuste ja nurkade summa kombinatsioon vastab tasapinnalisele, sfäärilisele või hüperboolsele geomeetriale (kus kolmnurga nurkade summa on väiksem kui 180 kraadi).

Enamik neist arvutustest eeldab koos muude kõveruse mõõtmistega, et universum on kas täiesti tasane või sellele väga lähedal. Üks uurimisrühm väitis hiljuti, et mõned Plancki kosmoseteleskoobi 2018. aasta andmed räägivad rohkem sfäärilise universumi kasuks, kuigi teised teadlased väitsid, et esitatud tõendeid võib seostada statistilise veaga.

Hüperboolne geomeetria

Erinevalt kerast, mis sulgub ise, avaneb hüperboolne geomeetria või negatiivse kumerusega ruum väljapoole. Selline on laia äärega mütsi, korallrifi ja sadula geomeetria. Hüperboolse geomeetria põhimudel on lõpmatu ruum, täpselt nagu tasane eukleidiline ruum. Kuid kuna hüperboolne kujund paisub väljapoole palju kiiremini kui lame, ei ole võimalik isegi kahemõõtmelist hüperboolset tasapinda tavalisse eukleidilisesse ruumi mahutada, kui me ei taha selle geomeetriat moonutada. Kuid Poincaré kettana tuntud hüperbooltasandist on moonutatud pilt.

Meie vaatenurgast tunduvad piirringi lähedal olevad kolmnurgad olevat palju väiksemad kui keskpunkti lähedal olevad kolmnurgad, kuid hüperboolse geomeetria seisukohalt on kõik kolmnurgad ühesugused. Kui prooviksime kujutada neid kolmnurki tõesti ühesuuruses – võib-olla kasutades elastset materjali ja iga kolmnurka kordamööda täispuhudes, liikudes keskelt väljapoole –, meenutaks meie ketas laia äärega mütsi ja painduks üha rohkem. Ja piirile lähemale jõudes väljuks see kumerus kontrolli alt.

Tavalises eukleidilises geomeetrias on ringi ümbermõõt otseselt võrdeline selle raadiusega, kuid hüperboolses geomeetrias kasvab ring raadiuse suhtes eksponentsiaalselt. Hüperboolse ketta piiri lähedal moodustub kolmnurkade hunnik

Selle omaduse tõttu armastavad matemaatikud öelda, et hüperboolses ruumis on lihtne eksida. Kui su sõber eemaldub sinust tavalises eukleidilises ruumis, hakkab ta eemalduma, kuid pigem aeglaselt, sest sinu nägemisring ei kasva nii kiiresti. Hüperboolses ruumis laieneb teie nägemisring eksponentsiaalselt, nii et teie sõber kahaneb peagi lõpmatult väikeseks täpiks. Seega, kui te pole tema marsruuti järginud, ei leia te teda tõenäoliselt hiljem.

Isegi hüperboolses geomeetrias on kolmnurga nurkade summa alla 180 kraadi – näiteks Poincaré kettamosaiigist on mõne kolmnurga nurkade summa vaid 165 kraadi.

Nende küljed näivad olevat kaudsed, kuid selle põhjuseks on asjaolu, et me vaatame hüperboolset geomeetriat läbi moonutava läätse. Poincaré ketta elaniku jaoks on need kõverad tegelikult sirged, nii et kiireim viis punktist A punkti B (mõlemad servas) jõudmiseks on läbilõige keskele.

Poincaré ketta kolmemõõtmelise analoogi tegemiseks on loomulik viis – võtta kolmemõõtmeline pall ja täita see kolmemõõtmeliste kujunditega, mis piirsfäärile lähenedes järk-järgult vähenevad, nagu kolmnurgad Poincaré kettal. Ja nagu tasandite ja sfääride puhul, saame luua terve hulga teisi kolmemõõtmelisi hüperboolseid ruume, lõigates välja sobivad tükid kolmemõõtmelisest hüperboolsest kuulist ja liimides selle esiküljed.

Noh, kas meie universum on hüperboolne?

Hüperboolne geomeetria oma kitsaste kolmnurkade ja eksponentsiaalselt kasvavate ringidega pole sugugi nagu meid ümbritsev ruum. Tõepoolest, nagu me juba märkisime, kaldub enamik kosmoloogilisi mõõtmisi lameda universumi poole.

Kuid me ei saa välistada, et elame sfäärilises või hüperboolses maailmas, sest mõlema maailma väikesed killud näevad välja peaaegu lamedad. Näiteks väikeste kolmnurkade nurkade summa sfäärilises geomeetrias on vaid veidi suurem kui 180 kraadi ja hüperboolses geomeetrias on see vaid veidi väiksem.

Seetõttu arvasid muistsed, et Maa on lame – Maa kumerus pole palja silmaga nähtav. Mida suurem on sfääriline või hüperboolne kuju, seda lamedam on selle iga osa, seetõttu, kui meie universumil on äärmiselt suur sfääriline või hüperboolne kuju, on selle nähtav osa nii tasapinnaline, et selle kumerust saab tuvastada ainult ülitäpsete instrumentidega, ja me pole neid veel leiutanud…